İntegral Ne işe yarıyor....biri anlatabilirmi? (2. sayfa)

quote:

Orijinalden alıntı: erom?

@NorthWestern;avatarınız size kızgın,öfke boyutuna taşımasına izin vermeyin;benden hatırlatması...

quote:

Orijinalden alıntı: tenekekutu

İntegrale geçmeden; fonsiyon,limit ve türev konusunu çok çok ama çok iyi öğrenmen lazım.İntergral sonuçta türevin tersi.Düzünü biliyorsan zaten tersini anında anlarsın.Örneğin su dolu bardağı boşaltmak türev ise doldurmak integraldir.İnternette birçok kaynak mevcut, o yüzden hesap kitap kısmına girmeyeceğim.

Hayatta herşey değişim içindedir,zaman sürekli geçer,canlı ve cansızlar biryerden biryer hareket eder,dünya döner vs vs sürekli bir değişim vardır.Ve bu değişim hep birşeylere bağımlıdır,biryerler referans alınarak tanımlanmalıdır ki neyin ne olduğu herkes tarafından bilinsin.Bunun için koordinat sistemlerini kullanırız(x,y,z,t) ki istediğimiz sonucu bulabilelim.Örneğin uçak için bir otomatik pilot programı hazırlayacaksın.Bu uçak biryerden kalkacak,başka bir yere inecek bunu da belirli bir sürede gerçekleşek.Elinde bazı sabitler olacak,bazılarını ise sen bulacaksın.Uçağın alacağı yol,ne kadar zamanda alacağı vs vs hep bunlar nispeten basit olan hesaplamalar.Peki uçak tam olarak ivmelenmesini biterecek,tam 10000 ft de hızı ne olacak,yerden kalkış hızı nedir? İşte bu ve buna benzer soruları cevaplaman için anlık hesaplamalara ihtiyacın var,var ama bir sorun da var.

Hız bildiğin üzere birim zamanda alınan yol.Dikkat edersen tanım değişimden bahsetmektedir.Ama ben değişimi öğrenmek istemiyorum(ortalama hız diğer bir değişle),tam tamına uçağın tekerleri yerden kesildiği andaki hızı nedir.Tam o andaki hız lazım.İşte burda bir sonraki zamanı mümkün olduğu kadar sıfıra yaklaştırıyoruz.Diyelim ki uçak hareketinden 10 saniye sonra tekerleri yerden kesiliyor.İşte biz bunu hesaplama için 10 saniyeden 0.0000001 gibi yani sıfıra yaklaşıyoruz ama tam sıfır olmuyoruz(tanımsız olur çünkü) değerlere doğru fonsiyonumuzu götürüyoruz.Klasik formülde şu şekildedir;

/>

Yukarıadaki formülde sürekli olarak sıfıra yaklaşmamız lazım ki biz tam o anki hızı bulalım.Yani 0,01 den 0,00000000...1 doğru sürekli gideceğiz değil mi amaç ne 0 yaklaşmak.Diyelimki düz bir hat üzerinde giden bir treniniz var.Yani X ekseninde.Bu tren t zaman sonra t^2 metrede olsun.Yani x(t)=t^2 metre diye bir fonksiyon tanımladın.(Şimdi diyebilirsin niye böyle tanımladın fonksiyonu veya nerden biliyorsun diye; deneyler sonucu veya zorunluluklar X şehri ile Y şehri arasını belli bir zamanda alması öngörülmüştür treninin gitmesi için).Şimdi yukarıdaki formül ve sana verilen fonksiyon ile bu trenin ortalama hızını hesaplayabilir misin? Diyelim ki 5.saniyedeki hızı ne( 0 sn ile 5 sn arasındaki ortalama hız yani)? x(t)=t^2 olduğuna göre 5*5=25 mt.Hız neydi V=x/t yani 25/5=5m/s değil mi? Peki 8 ve 5 saniyeler arasındaki hız ne 64-25/(8-5)=13m/s değil mi? Peki tam tamına 5.saniyedeki hızı ne?

Dedik ya biz hep değişim sonucu olan şeyleri buluruz.Şimdi bizim sayılar vererek 5'e doğru yaklaşmamız lazım.5.1 saniye ile 5 saniye arasındaki,sonra 5.01 saniye ile 5 saniye,4,99 saniye ile 5 saniye şekliden giderek bu aradaki ortalama hızı bulmamız gerekiyor.Bu hesaplamaları yaparsan hızın sürekli 10'a yaklaştığını göreceksin.Yani limit sıfıra giderken fonksiyon 10 gidiyor.Şimdi fonksiyondan gidelim x(t)=t^2 idi. Biz neyi arıyorduk 5 ile 5+h zaman aralığındaki ortalama hızı arıyoruz.H yi olabildiğince sıfıra yaklaştıracağız ki sonra tam 5 zamanındaki hızı bulalım.( x(5+h)-x(5))/((5+h)-5) yani yol/zaman=hız şimdi değerleri t^2 nin yerine koyalım pay için çünkü alınan yolu t cinsinden fonsiyon olarak yazmıştık. (10h+h^2)/h=10+h oldu değil mi? h=3 ise hız ne olur 13 m/s biz zaten bunu bulmadık mı yukarıda ( 8.saniye ile 5 . saniye arasındaki ortalama hız neydi hatırla 13 değil mi). Yukarıdak yine 0,01 olarak 10 sayısına yaklaşmıyor muyduk mecburen çünkü 0/0 tanımsız.Ama artık 10+0=10 yani 10.saniyedeki hızı neymiş trenin 10 m/s.Çünkü artık elimizde bir formül var.İsteğimiz andaki ORTALAMA hızı bulabiliyoruz.

Yukarıdaki formüle 5+h değilde t+h yazsak genellesek yani sonuç ne çıkar 2t+h çıkar değil mi? Ne dedik h ne kadar sıfıra yakınsa( limit sıfıra giderken o kadar iyiydi.Demekki t saniyede trenin hızı ne olacak 2t.Şimdi bunu formül haline getirelim değil mi?Niye her seferinde sıfıra yaklaşacağız değer vereceğiz.Yukarıdaki limit formülüne git tekrardan;

Örneğin; f(x)=x^2 ise bunun birinci türevi f'(x)=2x

1) (x + h)² − x²
-----------------
h

2) = x² + 2xh + h² − x²
----------------------
h

3) = 2xh + h²
------------------
h

4) = 2x + h.

bu da ıspatı. İşte buna TÜREV denmiş.

Gördüğün gibi türev değişimleri inceler.Örneğin balonun hacmi balonun yarıçapına bağlıdır(hacim formülünü hatırla),eğer balonun hacmininin balonun yarıçapına göre türevini alırsan yarı çap değiştiğinde hacmin ne kadar değiştiğini öğrenirsin.Eğer türevini almaz isen her yarıçap için tek tek hacim hesaplar yani bir hacim cetveli bulundurmak zorunda kalırsın ondan sonra iki hacimden değer çıkararak değer bulursun.Hiçte pratik bir yöntem değil tahmin ettiğin üzere.Ama türevini kullanırsan üstüne birde bilgisayar programı yazarsan bütün ihtimalleri hesaplarsın,hem de anında.

Ayrıca aldığın türevin sonucunun pozitif,negatif veya nötr çıkmasına göre yorum yaparsın.Yukarıdaki tren örneğinden gidelim gene eğer türev pozitif çıkarsa tren ileri,eğer negatif çıkarsa tren geri gidiyor demektir.O çıkarsa duruyordur.

Günlük hayatta ise hemen hemen herşey diferansiyel denklemler üzerinden dönmektedir.Sürekli türev integraller alınmakta ama arka planda kalmaktadır.Çizim programları,paket programlar,son teknoloji cihazlar bu hesap kitaplarla uğraşmadan size bu hesaplamaları vermekte.Günümüzde hemen hemen kimse makina dili ile program yazmamakta örneğin C gibi programlama dilleri kullanılıyor.Genelde bilim adamları veya bilim adamları ile çalışan mühendisler bunları kullanır.Çünkü yaptıkları şeyin piyasada ilk örneğini bu kişiler yapıyordur.

Bu anladıklarından İntegralin ne olduğunu da sen çıkar.

Not:Yukarıdaki yazı matematik dünyası dergisinden yararlanılarak hazılanmıştır. Link aşağıda,yukarı yazdıklarımın çok daha fazlası yazıyor.

http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF/10_02_33_38_turev.pdf