Limit Sorusu

hocam 2. öncülde limit değeri nasıl 0 olabiliyor? grafik hep 3 ve 7 aralığında değil mi?

hocam bir örnek çizebilir misiniz limit sıfırken fonksiyon değeri asıl o aralıkta olabilir ki, hayal edemedim.

2.öncülün doğru olması lazım,

x≥0 için, |x|=x'tir, o zaman

f(|x|)=f(x)'tir.

x≥0 için f(|x|)/f(x) = f(x)/f(x) = 1 olur.

x->2'ye giderkenki limite baktığımızda soldan da yaklaşsak sağdan da yaklaşsak hep 2'ye yakınız yani pozitifiz, x>0, o yüzden

lim(x->2) [f(|x|) / f(x)] = lim(x->2) [f(x)/(f(x)] = lim(x->2)(1) = 1 olması lazım yani limit var ve 1'e eşit.

Mesela sayısal olarak da baksak, sağdan yaklaşalım mesela,

x=2.1 için f(|x|)/f(x) = f(|2.1|)/f(2.1) = f(2.1)/f(2.1) = 1,

x=2.01 için f(|x|)/f(x) = f(|2.01|)/f(2.01) = f(2.01)/f(2.01) = 1, vs. Soldan yaklaşınca da aynı şekilde olur, örneğin 1.9 için, 1.99 için, 1.9999 için, vs.

Zaten f(x) tüm reel sayılarda tanımlı ve hiçbir zaman sıfır değerini almadığı için,

x>0 için her zaman f(|x|)/f(x) = f(x)/f(x) = 1'dir, bu yüzden de

f(|x|)/f(x)'in grafiğinde, y ekseninin sağındaki tarafta fonksiyon hep 1'e eşittir yani y ekseninin sağ tarafında grafiği y=1 doğrusudur, bu yüzden 2'deki limitin de 1 olduğu görülebilir.

Mesela Desmos'ta,

https://www.desmos.com/calculator/2dixjalhly

g(x)'i, f(|x|)/f(x) olarak tanımladım, f(x) yerine bir sürü farklı fonksiyon yazın,

mesela f(x)=sinx,

f(x)=lnx,

f(x)=(x^7-5x^3)*sin(5x+cosx) vs.,

x<0 tarafında bambaşka şeyler olabilir ama x>0 tarafı her zaman 1'e eşit oluyor, x>0 için grafik her zaman sabit y=1 doğrusu.