kopyalama yapılmayan sitelerden kopyalama yapma

A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir. 
   
  “ x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. 
   
   
  Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu 
   
  f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)} 
   
  biçiminde de gösterilir. 
   
    
   
  Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir. 
   
  Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir. 
   
  Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, 
   
        i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir. 
   
       ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir. 
   
      iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir. 
   
  Ü  Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur. 
   
    
   
  B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM 
   
  f ve g birer fonksiyon olsun. 
   
        f : A ® IR 
   
       g : B ® IR 
   
  olmak üzere, 
   
  i) f ± g: A Ç B ® IR 
   
     (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) 
   
  ii) f . g: A Ç B ® IR 
   
      (f . g)(x) = f(x) . g(x) 
   
  iii) 
   
   
      
   
    
   
  C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ 
   
  1. Bire Bir Fonksiyon 
   
  Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir. 
   
  “x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken 
   
  x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir. 
   
  Ü  s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere, 
   
      A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı 
   
      
   
    
   
  2. Örten Fonksiyon 
   
  Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir. 
   
  Ü  f : A ® B 
   
      f(A) = B ise, f örtendir. 
   
  Ü  s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı 
   
      m! = m . (m – 1) . (m – 2) … 3 . 2 . 1 dir. 
   
    
   
  3. İçine Fonksiyon 
   
  Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir. 
   
  Ü  İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır. 
   
  Ü  s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir. 
   
    
   
  4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon 
   
  Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. 
   
       f : IR ® IR 
   
       f(x) = x 
   
  birim (etkisiz) fonksiyondur. 
   
  Ü  Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir. 
   
    
   
  5. Sabit Fonksiyon 
   
  Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. 
   
  Ü  “x Î A ve c Î B için 
   
       f : A ® B 
   
       f(x) = c 
   
  fonksiyonu sabit fonksiyondur. 
   
  Ü  s(A) = m, s(B) = n olmak üzere, 
   
      A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir. 
   
    
   
  6. Çift ve Tek Fonksiyon 
   
  f : IR ® IR 
   
  f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur. 
   
  f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur. 
   
  Ü  Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir. 
   
  Ü  Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir. 
   
    
   
  D. EŞİT FONKSİYON 
   
       f : A ® B 
   
      g : A ® B 
   
  “x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir. 
   
    
   
  E. PERMÜTASYON FONKSİYONU 
   
       f : A ® A 
   
  olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir. 
   
  A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A 
   
  f = {(a, b), (b, c), (c, a)} 
   
  fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup biçiminde gösterilir. 
   
    
   
  F. TERS FONKSİYON 
   
  f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur. 
   
    
   
    
   
  Ü  Uygun koşullarda, f(a) = b Û f – 1(b) = a dır. 
   
  Ü  f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise, 
   
  Ü  
   
    
   
      
   
  Ü  (f – 1) – 1 = f dir. 
   
  Ü  (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir. 
   
  Ü  y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir. 
   
    
   
  Ü  B Ì IR olmak üzere, 
   
      
   
      f(x) = ax2 + bx + c  ise, 
   
      
   
    
   
  Ü  B Ì IR olmak üzere, 
   
      
   
     f(x) = ax2 + bx + c  ise, 
   
     
   
    
   
  G. BİLEŞKE FONKSİYON 
   
  1. Tanım 
   
        f : A ® B 
   
      g : B ® C 
   
  olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur. 
   
  (gof)(x) = g[f(x)] tir. 
   
    
   
  2. Bileşke Fonksiyonun Özelikleri 
   
  i) Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur. 
   
     fog ¹ gof 
   
    
   
  Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez. 
   
    
   
  ii) Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır. 
   
      fo(goh) = (fog)oh = fogoh 
   
  iii) foI = Iof = f 
   
      olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır. 
   
  iv) fof – 1 = f – 1of = I 
   
      olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir. 
   
  v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.