Türev sorusu

quote:

Orijinalden alıntı: miGma

İntegral içindeki fonksiyon "f ters" fonksiyonunun yani f^(-1) fonksiyonunun türevi. f'in tersinin türevi yani [f^(-1)]'(x) nasıl bulunur? f^(-1) fonksiyonuna karışıklığı azaltması için "g" adını verelim, yani f^(-1)=g, yani f ile g birbirinin tersi olan fonksiyonlar. f ile g birbirinin tersiyse, bilinmesi gereken en önemli şeylerden biri:
(f∘g)(x)=x ve (g∘f)(x)=x.
[f^(-1)]'(x)'i yani g'(x) i bulmak istiyoruz, bu eşitliklerin herhangi birinden yola çıkararak g'(x) i bulabiliriz, ilkinden bulmak daha kolay.

(f∘g)(x)=x, bileşke fonksiyonun türevini kullanarak iki tarafın da x'e göre türevini alırsak
f'(g(x)).g'(x)=1,

g'(x)=1/(f'(g(x)) yani,

[f^(-1)]'(x)=1/f'(f^(-1)(x)).

O zaman 2'den 4'e integral (...) = [f^(-1)](4) - [f^(-1)](2) = 2-1 = 1.