Çok zor polinom sorusu

Yabancı kaynaklardan biraz araştırdım, çözümü şu şekilde. Soruda kısacası, P(x)=1/x; x=1,2,3,4,...,2021 değerleri için. O zaman x.P(x)=1, x.P(x)-1=0; x=1,2,3,4,...,2021 değerleri için. P(x) bir polinom olduğu için, x.P(x) de bir polinomdur, "x.P(x)-1" de bir polinomdur. P(x), x ile çarpıldığı için "x.P(x)-1" polinomunun derecesi P(x)'in derecesinden 1 fazladır, yani "x.P(x)-1" polinomu, derecesi 2021 olan bir polinom. "x.P(x)-1"'in x=1,2,3,4,...,2021 değerleri için sıfıra eşit olması demek, yani x.P(x)-1=0 eşitliğinin x=1,2,3,4,..,2021 değerleri için sağlanması demek; bu 1,2,3,4,..,2021 sayılarının her birinin; "x.P(x)-1" polinomunun birer kökü olması demek. 1'den 2021'e kadar 2021 tane sayı olduğuna göre, x.P(x)-1 polinomu da 2021. dereceden olduğuna göre, x.P(x)-1 polinomunun tüm kökleri bunlardır, başka kökü (reel veya karmaşık) olamaz. 1,2,3,..,2021 sayıları x.P(x)-1 polinomunun kökleriyse, x.P(x)-1 polinomunun içinde bu köklerin her birine ait birer çarpan vardır, (x-1), (x-2), (x-3),...,(x-2021) şeklinde, ve bu polinomun x içeren tüm çarpanları bunlardır (çünkü 2021. derece --> (x-a) şeklinde 2021 tane çarpan). Bu çarpanlarla birlikte her zaman sıfırdan farklı bir reel sayı çarpanı da olabilir. O zaman x.P(x)-1 polinomunu şöyle yazabiliriz;

x.P(x)-1 = k.(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2021), k sıfırdan farklı bir reel sayı.

x=2022 için;
2022.P(2022) - 1 = k.2021.2020.2019...1 = k.2021!

k'yı bulmak için, x.P(x)-1 = k.(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2021) eşitliğinde x=0 için;
-1 = k. -2021!
k = 1/2021!

2022.P(2022) - 1 = (1/2021!).2021! = 1
2022.P(2022) = 2
P(2022) = 2/2022 = 1/1011.