matematik tyt denklem sorusu

a3+2a2+9a+8 bir ifadenin küpü ise a kaçtır ?

Soruyu kısaltmak amacıyla bir şeyleri çıkartarak mı yazdın, çünkü bu haliyle pek bir şey ifade etmiyor. Her a sayısı için, bu ifadenin değeri, bu değerin küp kökü olan sayının kübüdür. Soruda bir tam sayının kübü mü diyor? Örneğin a=0 için ifade = 8 = 2'nin kübü oluyor. Sorunun tam hali varsa daha iyi olur.

cevap 7

Bu sorularda genelde sağlayan pozitif tam sayıları diye soruyorlar, burada da böyle demesi lazımdı, çünkü doğal sayı diyince a=0 da sağlıyor, ama bunun dışında bir sorun yok. Bunlardan başka sağlayan pozitif bir "a" tam sayısı olmadığını kanıtlayabiliriz, güzel bir kanıtı var. Yukarıdaki çözümde, ifadeyi o hale getirince, görüyoruz ki (a+1)³'ünden bir şey çıkartılıyor, eğer bu çıkartılan şey sıfıra eşit olursa sonuç = (a+1)³ olur ve bu bir tam sayının kübüdür (a tam sayı için), yani istediğimize ulaşırız. Pozitif olarak a=7 olduğunda çıkartılan şey sıfır oluyor ve sonuç = 8³ yani bir tam sayının kübü oluyor.

Şimdi a>7 olabilir mi, tabii ki a tam sayı olacak, buna bakalım:

Bizim ifademize P(a) diyelim,

P(a) = a³+2a²+9a+8 = (a+1)³-(a+1).(a-7), çıkartılan kısma bakalım,

a>7 ise

(a-7)>0,

(a+1)>0,

bunların çarpımları da pozitiftir yani (a+1)(a-7)>0, yani

(a+1)³'ten pozitif bir sayı çıkartılmış oluyor, sonuç (a+1)³'ten küçük olur. Yani

a>7 ise (a+1)³>P(a)'dır. Şimdi P(a)'yı bir de "(a)³" ile kıyaslayalım,

P(a)=a³+2a²+9a+8,

a>7 ise 2a²+9a+8>0 olduğunu çok rahat görebiliriz çünkü toplanan her şey pozitif, o zaman

P(a) = a³+2a²+9a+8 > a³, sonuç olarak

(a+1)³>P(a)>(a)³.

(a+1) ile (a), ardışık tam sayılardır, ardışık tam sayıların küpleri arasında başka bir tam sayının kübü olması mümkün değildir, örneğin 12³ ile 13³ arasında başka bir tam sayının kübü olması mümkün değildir. Bu yüzden, P(a); (a+1)'in kübü ile (a)'nın kübü arasında olduğu için, bu ardışık tam sayıların küpleri arasında olduğu için, P(a)'nın bir tam sayının kübü olması imkansız. Bu yüzden a>7 olacak şekilde bir çözüm yoktur. Bir de,

0<a<7 için çözüm var mı diye bakalım, yani a pozitif ve 7'den küçük bir tam sayı, o zaman

P(a)=(a+1)³-(a+1).(a-7) ifadesinde,

(a+1)>0,

(a-7)<0,

-(a+1)(a-7)>0, yani (a+1)³'ne pozitif bir sayı eklenmiş oluyor, o zaman

(a+1)³<P(a) olur. Şimdi (a+2)'nin kübü ile P(a)'yı kıyaslayalım:

(a+2)³=a³+6a²+12a+8.

(a+2)³ ? P(a),

a³+6a²+12a+8 ? a³+2a²+9a+8, her iki taraftan a³'ü, 2a²'yi ve 9a'yı ve 8'i çıkartalım, bu eşitsizliğin yönünü değiştirmez,

4a²+3a ? 0. a pozitif bir sayı, bu yüzden

4a²+3a > 0, eşitsizliğin yönünü değiştirecek bir hamle yapmadan ilerlediğimiz için

a³+6a²+12a+8 > a³+2a²+9a+8'tür, yani

(a+2)³ > P(a). İki eşitsizliği birleştirdiğimizde

(a+1)³<P(a)<(a+2)³,

(a+1) ile (a+2) yine ardışık sayılar olduğu için, P(a) sayısı ardışık tam sayıların küpleri arasında bir sayıdır, bu yüzden bir tam sayının kübü olamaz, yani a<7 olacak şekilde de sağlayan pozitif bir a tam sayısı yoktur. P(a)'nın bir tam sayının kübü olmasını sağlayan tek pozitif tam sayı değeri a=7.

Matematikte sorularda yalnızca tam sayıları istediği kısım sayılar teorisi (number theory) kısmı oluyor, çözmek için yaratıcı şekillerde düşünmek gerekebiliyor, baya zevkli. Bu soruda 7 dışında sağlayan başka pozitif tam sayı olmadığı başka şekillerde de kanıtlanabiliyordur muhtemelen, örneğin

a³+2a²+9a+8=k³ diyebiliriz, k bir tam sayı. Yine a>7 ve a<7 durumlarına bakılabilir. Bu şekilde de kanıtlamaya çalışıyorum, yapabilirsem onu da paylaşırım

@miGma çok teşekkürler anlamadım bir kaç kez okuyup anlamaya çalışacam (a+1)³-(a+1).(a-7) bu ifade iki taraftan biri neden sıfır olmak zorunda onu algılayamıyorum

Şimdi biz sonucun tam küp olmasını istiyoruz, yani bir tam sayının kübü olmasını istiyoruz. Dikkat edersek

P(a) = (a+1)³ - (a+1).(a-7) ifadesinde, "a" bir tam sayıysa, (a+1) de bir tam sayıdır,

ve "(a+1)³" ifadesi zaten bir tam sayının kübüdür. Eğer "a" bir tam sayı olacak şekilde çıkartılan ifadeyi sıfır yapmayı başarabiliyorsak, geriye sadece

P(a)=(a+1)³ kalır, ve a tam sayı olduğu için bu da soruda istediği gibi bir tam sayının kübü olmuş olur.

a=7 olduğunda çıkartılan şey sıfıra eşit oluyor,

P(a)=(a+1)³ = (7+1)³ = 8³ oluyor yani bir tam sayının kübü olmuş oluyor, bu yüzden a=7 değeri istenilen şeyi sağlıyor.

Estağfurullah  

Başka bir çözüm, pozitif "a" tam sayılarını soruyor olsun,

P(a) = a³+2a²+9a+8 = k³ diyelim.

a>0 olduğu için, P(a)>0, k³>0, k>0'dır. Ve,

(a³)'e, pozitif bir şeyler eklenmiş ve sonuç (k³) olmuş, demek ki

k³ > a³,

k > a.

k ve a tam sayılar olduğu için, k ile a arasındaki fark 1 veya 1'den büyük olabilir, yani

k-a ≥ 1.

2a²+9a+8 = k³-a³ = (k-a)(k²+ka+a²). Şimdi k-a=1 ve k-a>1 durumları var, k-a=1 durumuna baktığımızda,

k-a=1 ise eşitliğin sağlanması için

2a²+9a+8 = k²+ka+a² olmalı, k yerine a+1 yazıp eşitliği çözünce pozitif olarak yalnızca

a=7 tam sayısının sağladığı görülüyor. Başka sağlayan bir pozitif "a" tam sayısı varsa, o zaman mecburen

k-a>1 durumundan gelmeli.

k=a+m diyelim, k-a>1 ise yani k ile a arasındaki fark 1'den büyükse, bu fark = m'dir, yani m≥2'dir.

Kırmızıyla gösterdiğim çarpanlara dikkat edersek, (k-a)>1 iken,

k²+ka+a² > 2a²+9a+8 olursa, çözüm yok demektir, çünkü 1'den büyük bir sayı olan (k-a) sayısı, (k²+ka+a²) ile çarpılıyor, çarpıldığı bu sayı da (2a²+9a+8)'den büyük, o zaman çarpımları da kesinlikle (2a²+9a+8)'den büyük olur, ve

2a²+9a+8 = (k-a)(k²+ka+a²) eşitliğinin sağlanması imkansız olur.

k²+ka+a² > 2a²+9a+8 eşitsizliğini çözelim, bu eşitsizlik sağlanırsa çözüm yok demektir, k=a+m yazınca eşitsizlik şuna dönüşür:

a² + (3m-9)a + (m²-8) > 0, yani bu eşitsizlik sağlanıyorsa çözüm olmaz.

m≥3 olursa; a²>0, (3m-9)a≥0, m²-8>0, toplamları da pozitif olur, eşitsizlik sağlanır, yani

k²+ka+a² > 2a²+9a+8 olur, bu da

m≥3 durumundan bir çözüm gelmediği anlamına geliyor.

Onun dışında m yalnızca m=2 olabilir

(çünkü m = k-a > 1 durumuna bakıyoruz),

m=2 ise m yerine 2 yazdığımızda eşitsizlik şuna dönüşüyor:

a²-3a-4>0,

(a-4)(a+1)>0. Bunun grafiği olan parabolü çizdiğimizde:

https://i.ibb.co/C2VGVNV/par.jpg

a>4 için ifade pozitif yani eşitsizlik sağlanıyor, yani

k²+ka+a² > 2a²+9a+8 geliyor, bu da a>4 için çözüm yok demek, geriye yalnızca pozitif tam sayı olarak

a=1,2,3,4 değerleri kaldı, bunların olma ihtimali var, ama deneyince olmadıklarını görüyoruz. Sonuç olarak 7'den başka sağlayan pozitif a tam sayısı yok.

YKS 2021 KAYNAKLARI VE DENEME SI NAVLARI İÇİN BU SİTEYE BAKABİLİRSİNİZ https://www.kisa.link/url_redirector.php?url=ODRN