Kümeler... Zor

Bir umut google'a "set positive integers written descending order subset alternate sum" yazdım, ve Aops sitesinden çıktı.
1983 AIME sorusu-https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1983_AIME_Problems/Problem_13

Bu linkte dört tane çözümü var, ilk iki çözümün harmanlanmış halini Türkçe anlatayım.
Zekice olan nokta şu, bir S kümesine, o kümedeki elemanların hepsinden büyük bir sayı ekleyerek yeni bir S' kümesi oluşturduğumuzda,
"S in gerçek değeri + S' nün gerçek değeri = o yeni eklediğimiz büyük sayı" oluyor. Örneğin
S={2,4,5} kümesinin gerçek değeri = 5-4+2, S kümesine örneğin "7" elemanını eklediğimizde, artık en büyük eleman 7 olduğu için, onu toplama artı olarak dahil ediyoruz, diğer hepsinin işareti kayıyor, 7-5+4-2 oldu.
Gerçek değer S + gerçek değer S' = (5-4+2)+(7-5+4-2) = 7.
Bu sorudaki kümenin en büyük elemanı 10 olduğu için, önce
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} kümesinin "10" elemanını içermeyen alt kümelerini düşünelim, bu kümenin "10" elemanını içermeyen alt kümeleri, {1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin alt kümeleridir, yani (2^9)-1 tane "10" elemanını içermeyen alt kümesi var (boş kümeyi çıkardık). Bunlar S1,S2,S3,...,S(2^9-1) olsun. Bu kümelerin her birine "10" elemanını eklediğimizde,
(S1)',(S2)',(S3)',...,(S(2^9-1))' kümelerini elde edelim,

gerçek değer S1+gerçek değer (S1)' = 10,
gerçek değer S2+gerçek değer (S2)' = 10,
...
...
gerçek değer S(2^9-1)+gerçek değer (S(2^9-1))' = 10.

Tüm bunların toplamı = ((2^9)-1)*10.
(Hem "S" ler, hem de "S'" ler hepsi birlikte orijinal kümenin tüm alt kümelerini oluşturuyorlar.) Boş kümeyi saymamıştık, ama boş kümeye "10" elemanını ekleyince oluşan {10} kümesi de orijinal kümenin bir alt kümesi,
{10} kümesinin gerçek değeri = 10, bununla birlikte tüm gerçek değerlerin toplamı =
((2^9)-1)*10 + 10 = (2^9)*10 - 10 + 10 = (2^9)*10.